où il suffira aussi de pousser les séries jusqu’aux puissances négatives de
exclusivement, et ainsi de suite.
9. Reprenons maintenant l’expression générale en
du coefficient
de la puissance
dans le développement de la fraction
et supposons que le numérateur
soit
ou plus généralement de la forme
c’est-à-dire qu’il soit le produit de la fonction dérivée du dénominateur prise négativement par une fonction
qu’on suppose entière et rationnelle. Faisant la substitution de
au lieu de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}-{\frac {\psi (u)f'(u)}{u^{n+1}}}&+\left[{\frac {\psi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'\ \ \,-\left[{\frac {\psi (u)f(u)f'(u)}{u^{n+1}}}\right]'\\&+\left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''-\left[{\frac {\psi (u)f'(u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4303f4f73b2ce41f9331628a29c78054249135)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'f(u),\\\left[{\frac {\psi (u)}{2u^{n+1}}}f^{2}(u)\right]'=&{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)+\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7465d10af1796ee8aef325875c21bceb0968a0)
et, par conséquent,
![{\displaystyle \left[{\frac {\psi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''=\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}f(u)f'(u)\right]'+\left\{\left[{\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}}\right]'{\frac {f^{2}(u)}{2}}\right\}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49c42a234b2e2eb4c50eeff0145ecc938aa8054)
Donc, faisant ces réductions et supposant, pour abréger,
![{\displaystyle \Psi (u)={\frac {\psi (u)}{u^{n+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcb53ef5f1a46bb518ba1a2ab43deb907ad6d8b)
on aura
![{\displaystyle (u)=\Psi (u)+\Psi '(u)f(u)+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{2}(u)}{2}}\right]'+\left[{\frac {\Psi '(u)f^{3}(u)}{2.3}}\right]''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f8a41af46d1b644975217e0c5156bc35ddf998)
Cette formule servira à trouver l’expression du terme général
dans le développenent de la fraction
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)\left[1-f'(x)\right]}{u-x+f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd89f07f9e3b0e7a1b934050733475add33a253f)