On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}(n)&=\mathrm {P} \left[(2\cos \omega )^{n}-(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}+{\frac {(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-5)(n-4)(n-3)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-6}+\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[(2\cos \omega )^{n-1}-(n-2)(2\cos \omega )^{n-3}+{\frac {(n-4)(n-3)}{2}}(2\cos \omega )^{n-5}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.-{\frac {(n-6)(n-5)(n-4)}{2.3}}(2\cos \omega )^{n-3}+\ldots \right],\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1e37ce808435daabfa73c3769c10518dfff888)
où il suffira de ne point admettre de puissances négatives de ![{\displaystyle \cos \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdd489ce07147c06e7713b1ca58454d398e1a87b)
Cette expression peut se réduire à une forme plus simple en employant les formules connues des sinus des angles multiples ; on aura par ce moyen
![{\displaystyle (n)=\mathrm {P} {\frac {\sin(n+1)\omega }{\sin \omega }}+\mathrm {Q} {\frac {\sin n\omega }{\sin \omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ea7e40f8b188742dfbe333a8382e3c172a711a)
comme Euler l’a trouvé dans l’Introduction à l’Analyse ; mais la formule précédente a l’avantage de pouvoir s’appliquer facilement aux fractions dont le dénominateur est une puissance quelconque.
En effet, pour la fraction
on aura le terme général
et, en prenant la fonction dérivée de l’expression de
en
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} \left[{\frac {(n+1)u^{-n-2}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-1)nu^{-n-1}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)u^{-n}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} \left[{\frac {nu^{-n-1}}{2\cos \omega }}-{\frac {(n-2)(n-1)u^{-n}}{(2\cos \omega )^{2}}}+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)u^{-n+1}}{2(2\cos \omega )^{3}}}-\ldots \right]\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10c8f31e20b0b01a61611a56f889bcb167d4168d)
et, substituant pour
sa valeur
il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}-(n)'&=\mathrm {P} {\biggl [}(n+1)(2\cos \omega )^{n+1}-(n-1)n(2\cos \omega )^{n-1}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-3)(n-2)(n-1)}{2}}(2\cos \omega )^{n-3}-\ldots \right]\\&+\mathrm {Q} {\biggl [}n(2\cos \omega )^{n}-(n-2)(n-1)(2\cos \omega )^{n-2}{\biggr .}\\&\qquad \qquad \left.+{\frac {(n-4)(n-3)(n-2)}{2}}(2\cos \omega )^{n-4}-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac7b8bd4209c786924d94c9ea3c1d40de92da75)