suivant les puissances positives de
et l’on trouvera
![{\displaystyle (n)={\frac {\varphi (u)}{u^{n+1}}}+\left[{\frac {\varphi (u)f(u)}{u^{n+1}}}\right]'+\left[{\frac {\varphi (u)f^{2}(u)}{2u^{n+1}}}\right]''+\left[{\frac {\varphi (u)f^{3}(u)}{2.3u^{n+1}}}\right]'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c17d9eabc98caa135e894e797d2fe63638d1b91)
en ayant soin de ne retenir que les termes qui contiendront des puissances négatives de
.
7. Nous remarquerons ici que, en prenant encore successivement les fonctions dérivées suivant
on pourra avoir les expressions des termes multipliés par
dans les développements de
de
de
Ainsi en désignant par
les fonctions dérivées, première, seconde, … de la fonction de
désignée par
on aura
![{\displaystyle -(n)'x^{n},\quad -(n)''{\frac {x^{n}}{2}},\quad -(n)'''{\frac {x^{n}}{2.3}},\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593023c501cf754570adfc3a634908932f1986f)
pour les expressions des termes dont il s’agit. Et, pour avoir les valeurs de
il n’y aura qu’à ajouter un trait, deux traits, … aux fonctions
de l’expression de ![{\displaystyle (n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15972a1838e24e8b564d74e1eaa13dfc963dcdf1)
8. Supposons qu’on demande le terme général
de la série provenant du développement de la fraction rationnelle
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P+Q} x}{1-2x\cos \omega +x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0b00ed2170d1ed513c1c691d30794fbe0fd1722)
On divisera d’abord le numérateur et le dénominateur par
pour le réduire à la forme
et l’on aura, par la comparaison avec cette formule,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x)=&{\frac {\mathrm {P} }{2\cos \omega }}+{\frac {\mathrm {Q} }{2\cos \omega }}x,\\f(x)=&{\frac {x^{2}}{2\cos \omega }},\\u=&{\frac {1}{2\cos \omega }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8eba8ff1eee4bb2961f918f936192fa6f5c058)