suivant les puissances de et, si et sont deux termes consécutifs, on aura pour la valeur de d’autant plus exacte que ces termes seront plus éloignés du commencementde la série.
Dans la méthode ordinaire, les termes d’une série récurrente se forment les uns d’après les autres ; mais cette manière, qui est très-commode pour le calcul-arithmétique, n’est pas propre à donner le terme général en fonction des coefficients de l’équation, et il faut pour cela employer d’autres moyens.
5. Pour donner à cette recherche toute la généralité dont elle est susceptible, je vais considérer la fonction fractionnaire
dans laquelle je suppose que et sont des fonctions de telles que
Je représente par
la série résultante du développement de cette fonction suivant les puissances de et je me propose de trouver l’expression du coefficient (n) de la puissance
Je commence par développer la fonction suivant les puissances de j’ai la série
Je considère chacune de ces fractions en particulier, et je cherche les termes multipliés par qui peuvent résulter de leur développement.
La fraction donne la série connue