3. Mais on peut arriver à ce même résultat par\nue autre méthode plus directe et plus analytique.
La question consiste à tirer de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (a+p)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/353a71fe227877ed8379161e367c0db38392aba0)
la valeur de
en série. Je puis regarder la quantité
comme une fonction d’une autre quantité
et supposer que
devienne
lorsque
deviendra
Ainsi, comme
devient en général
![{\displaystyle a+ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a44eeb3d8e979cb6c1ba20e028aaa7302dddf3)
lorsque
deviendra
on aura
![{\displaystyle p=ia'+{\frac {i^{2}}{2}}a''+{\frac {i^{3}}{2.3}}a'''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fc3152776044bb740d20e41a72d5e1fb11a276)
comme la quantité
est indétermipée, je puis la supposer telle que l’on ait
alors
deviendra
et l’équation
sera
laquelle donne sur-le-champ
![{\displaystyle i=-\alpha =-\operatorname {F} (a)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c1892bf41bf27e09205810ac8de3dce2dfb880)
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle p=-a'\operatorname {F} (a)+{\frac {a''}{2}}\operatorname {F} ^{2}(a)-{\frac {a'''}{2.3}}\operatorname {F} ^{3}(a)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b31686f3e20cc60cdf35653484b509fa00b60bb)
et il n’y aura plus qu’à trouver les valeurs de ![{\displaystyle a',a'',a''',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b6f8afb1538b85ed68c955d3910fc93a3fadcd)
Ces valeurs sont les fonctions dérivées de
considérée comme fonction de
or on a pour la détermination de
en
l’équation
donc, si l’on prend les fonctions dérivées relativement à
en regardant
comme la fonction de
et qu’on désigne, comme on l’a fait plus haut, par ![{\displaystyle \operatorname {F} '(a),\ \operatorname {F} ''(a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ffbedf2d9998421dae3e2e66b1af9b26238dcc6)
les fonctions dérivées de
par rapport à
les fonctions dérivées de
relativement à
seront
et l’équation
donnera d’abord
d’où l’on tire
![{\displaystyle a'={\frac {1}{\operatorname {F} '(a)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a02e511dbbe583e271da296390d594428bfef12)