Or, le nombre total des quantités
étant
si l’on en retranche le nombre
on aura
![{\displaystyle {\frac {n\nu }{2n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06748780dc0a6d152bb21e9aad8aa8e39caf96b0)
pour le nombre des produits
qui, par l’échange de
en
se changeront dans les réciproques
par conséquent, ce nombre sera aussi celui des facteurs
qui changeront de signe par ce même échange ; donc, tant que
sera un nombre pair, et par conséquent tant que l’exposant
sera une puissance de
plus grande que
le nombre dont il s’agit sera nécessairement pair, d’où il s’ensuit que le produit total
![{\displaystyle (\mathrm {P} -p)(\mathrm {Q} -q)(\mathrm {R} -r)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c83ddb20dd12be437f58d050e2b448f795fec66)
ne changera pas par l’échange de
en
il en sera de même des autres échanges de
en ![{\displaystyle \gamma ,\delta ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a097e0083780399db71fcb498a19f495562003d)
Donc enfin ce produit sera une fonction invariable des quantités
et pourra, par conséquent, se déterminer par des fonctions rationnelles des coefficients
du polynôme donné. Donc l’équation en
du degré impair
aura son dernier terme négatif ; par conséquent, elle aura nécessairement une racine réelle positive (no 3).
En prenant cette valeur positive pour
on aura
![{\displaystyle \left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be55cbf33a601816911da8d3f73c5704c7033e3c)
et de là
![{\displaystyle u-{\frac {h}{u}}={\sqrt {z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9660108f127ba04c2f966a70850d4799564de1ff)
donc
![{\displaystyle u^{2}-u{\sqrt {z}}-h=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1327ecf8a43fa46e2bcee33048cb037e99be02a0)
et de là
![{\displaystyle u={\frac {1}{2}}{\sqrt {z}}\pm {\sqrt {{\frac {z}{4}}+h}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd07d9472128d990bf56ddb36ca2cb6d9d3494d)