positive si son dernier terme est négatif. Or, puisque
est un nombre impair, le dernier terme sera le produit de toutes les racines, pris négativement ainsi la question est réduite à voir si le produit de toutes les valeurs de
est essentiellement une quantité positive, en supposant que la valeur de
soit positive.
Puisque
![{\displaystyle z=y^{2}-4h\quad {\text{et}}\quad y=u+{\frac {h}{u}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0521c9b7d44a637e1c66cd9d07f028246b2ffd0a)
on aura
![{\displaystyle z=u^{2}+{\frac {h^{2}}{u^{2}}}-2h=\left(u-{\frac {h}{u}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b106178874eeea715f40e11575b2ef4395e7a651)
Or
a pour valeurs tous les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble une moitié des quantités
et nous avons déjà vu que les valeurs de
sont les produits qu’on peut faire en multipliant ensemble l’autre moitié des mêmes quantités ; donc les valeurs de
seront deux à deux égales et de signe contraire ; par conséquent, on aura toutes les valeurs différentes de
en ne donnant à
que la moitié de ses différentes valeurs, et il est évident que le produit de toutes les valeurs de
sera positif si le produit des valeurs de
peut être exprimé par une fonction rationnelle des coefficients
car alors son carré sera nécessairement une quantité positive.
S’il n’y a, par exemple, que quatre quantités
toutes les valeurs de
seront
![{\displaystyle \alpha \beta ,\ \ \alpha \gamma ,\ \ \alpha \delta ,\ \ \beta \gamma ,\ \ \beta \delta ,\ \ \gamma \delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b956e51c56024ffcee1ce81f9574b16f1d57df36)
et les valeurs différentes de
seront, en ne prenant pour
que les trois premiers produits,
![{\displaystyle \alpha \beta -\gamma \delta ,\ \ \alpha \gamma -\beta \delta ,\ \ \alpha \delta -\beta \gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d60dc79223b3e67b0d3a774d1365352c8cc6ac)
le produit de ces trois quantités, étant développé, donne
![{\displaystyle \alpha ^{3}\beta \gamma \delta +\alpha \beta ^{3}\gamma \delta +\alpha \beta \gamma ^{3}\delta +\alpha \beta \gamma \delta ^{3}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\gamma ^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}\delta ^{2}-\alpha ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}\delta ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caa4f55786e198127803f55e62d948eab90e7a25)