en supposant
Ensuite on aura en par l’équation
laquelle donne
15. Maintenant on voit qu’il suffit de calculer directement la moitié des coefficients de l’équation en ce qui réduit le calcul à la moitié. On voit de plus que, comme l’exposant est dans le cas présent un nombre de la forme étant impair, le nombre sera impair, et par conséquent l’équation en aura nécessairement une racine réelle.
Mais, pour que ait une valeur réelle, il ne suffit pas que la valeur de soit réelle, il faut encore que soit une quantité positive. Cela aura lieu nécessairement lorsque a une valeur négative ; ainsi, dans ce cas, le polynôme du degré est résoluble par deux polynômes réels du degré Mais, si a une valeur positive, il faut voir de plus si l’on peut toujours trouver une valeur réelle de telle que
16. Soit donc
qu’on substitue, dans l’équation précédente en au lieu de on aura, après avoir fait disparaître le radical par l’élévation au carré et ordonné les termes suivant les puissances de une équation en du même degré laquelle aura nécessairement une racine réelle