8. On pourra même trouver directement ces équations par l’algorithme des fonctions dérivées. En effet, si l’on met partout
à la place de
il s’ensuivra des formules précédentes que,
devenant
deviendra
![{\displaystyle b+{\frac {m-1}{m}}ai+{\frac {m(m-1)}{2m^{2}}}i^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee992d67efca1a91c57bc948c430513cbbeeee1d)
c deviendra
![{\displaystyle c+{\frac {m-2}{m}}bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2m^{2}}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3m^{3}}}i^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97513c1bd954c1458dea2a6f336c4f129038ec00)
etc., et enfin
deviendra
![{\displaystyle u+{\frac {t}{m}}i+{\frac {s}{m^{2}}}i^{2}+{\frac {r}{m^{3}}}i^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbfa95ad4a4ca54f7a7704cb8a94b71f4a55955)
Donc, si l’on regarde, ce qui est permis, les coefficients
et
comme des fonctions de
et qu’on se rappelle que,
devenant
toute fonction de
comme
devient
![{\displaystyle u+iu'+{\frac {i^{2}}{2}}u''+{\frac {i^{3}}{2.3}}u'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af3a496e8e0ecb42ada809bf2c156333318fc8f)
on pourra supposer
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}b'=&{\frac {m-1}{m}}a,&b''=&{\frac {m(m-1)}{m^{2}}},&b'''=&0,\\c'=&{\frac {m-2}{m}}b,\quad &c''=&{\frac {(m-1)(m-2)}{m^{2}}}a,\quad &c'''=&{\frac {m(m-1)(m-2)}{m^{3}}},\quad c^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\d'=&{\frac {m-3}{m}}c,&d''=&{\frac {(m-2)(m-3)}{m^{2}}}b,&d'''=&{\frac {(m-1)(m-2)(m-3)}{m^{3}}}a,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e16751be73d659d5765931883f9e5ecad88ee3af)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&d^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}={\frac {m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)}{m^{4}}},\quad d^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&u'={\frac {t}{m}},\quad u''={\frac {2s}{m^{2}}},\quad u'''={\frac {2.3r}{m^{3}}},\quad \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0de13ff840f5a27f6a70da28189d684de4efde8)
et il n’y aura plus qu’à prendre les fonctions dérivées successives de l’équation en
et
faire les substitutions précédentes.