Par cette substitution, le premier de ces polynômes deviendra
![{\displaystyle x^{m}-a_{1}x^{m-1}+b_{1}x^{m-2}-\ldots \pm h_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3e83ca419925b88ae6289d28eac1662fc63b0b)
où l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}=&a+mi,\\b_{1}=&b+(m-1)ai+{\frac {m(m-1)}{2}}i^{2},\\c_{1}=&c+(m-2)bi+{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}ai^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\h_{1}=&h+gi+fi^{2}+ei^{3}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157d304e474d7530f2ab321df4e29517dafce00c)
et le second polynôme deviendra pareillement
![{\displaystyle x^{n}-p_{1}x^{n-1}+q_{1}x^{n-2}-\ldots \pm u_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/face56d5215a2ce1fdb154f2ce0669404773b900)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}=&p+ni,\\q_{1}=&q+(n-1)pi+{\frac {n(n-1)}{2}}i^{2},\\r_{1}=&r+(n-2)qi+{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}pi^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}i^{3},\\..\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\u_{1}=&u+ti+si^{2}+ri^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828371098b6b9a531e724664e9467d071711ebfa)
D’où l’on peut conclure que, si dans l’équation en ![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
![{\displaystyle u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\ldots \pm \mathrm {V} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ecf0c6d87de8752162de1ed8128dd21e7e0d86)
dans laquelle les coefficients
sont des fonctions de
on substitue respectivement
au lieu de ces quantités, la valeur de
deviendra celle de
quelle que soit la valeur de
de sorte que, en développant les termes suivant les puissances de
il faudra que la somme de tous les termes multipliés par une même puissance soit nulle, ce qui donnera plusieurs équations, dont chacune servira à déterminer un des coefficients
par les précédents.