pendre chacun d’une équation dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de
en composant cette équation de manière qu’elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de
ou de
ou de
etc., dont le nombre est égal au nombre
donné ci-dessus.
3. Considérons le dernier coefficient
qui est formé du produit de
des quantités
on aura
![{\displaystyle \alpha \beta \gamma \ldots ,\quad \beta \gamma \delta \ldots ,\quad \alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d705bc6ed3dbe34fd1f6b97b01d91291fe945e)
pour les différentes valeurs de
Donc, si l’on forme un polynôme du produit de ces facteurs simples
![{\displaystyle u-\alpha \beta \gamma \ldots ,\quad u-\beta \gamma \delta \ldots ,\quad u-\alpha \gamma \delta \ldots ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f944e0659bd56a47539165106057a3100bfa4b20)
ce polynôme aura la propriété d’être une fonction invariable de
indépendamment de l’indéterminée
par conséquent, étant développé, tous ses coefficients auront encore la même propriété.
Car soit ce polynôme
![{\displaystyle u^{\mu }-\mathrm {A} u^{\mu -1}+\mathrm {B} u^{\mu -2}-\mathrm {C} u^{\mu -3}+\ldots \pm \mathrm {V} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490f2019c5eee1fef13ae4851ec68e5b813fd0e7)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&\alpha \beta \gamma \ldots +\beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots +\ldots ,\\\mathrm {B} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots +\alpha \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots +\beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta +\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {V} =&\alpha \beta \gamma \ldots \times \beta \gamma \delta \ldots \times \alpha \gamma \delta \ldots \times \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b899cbced3fd48c07cc21f31f61a2915afeda8)
où l’on voit que les coefficients
sont en effet des fonctions invariables de
Or, on sait que ces sortes de fonctions peuvent toujours être déterminées par des fonctions rationnelles des coefficients ![{\displaystyle a,b,c,\ldots ,h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7a8128b1c24d99232ec204afa26fcd733bacaa)
4. En effet, on peut d’abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d’un même degré des quantités
comme nous l’avons vu dans la Note VI (no 1). Ensuite, si l’on multiplie
somme