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Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/22
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et est conforme au fac-similé.
et l’on aura, comme l’on sait,
A
1
=
A
,
A
2
=
A
A
1
−
2
B
,
A
3
=
A
A
2
−
B
A
1
+
3
C
,
A
4
=
A
A
3
−
B
A
2
+
C
A
1
−
4
D
,
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A_{1}=A} ,\\&\mathrm {A_{2}=AA_{1}-2B} ,\\&\mathrm {A_{3}=AA_{2}-BA_{1}+3C} ,\\&\mathrm {A_{4}=AA_{3}-BA_{2}+CA_{1}-4D} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}
Supposons de plus
a
1
=
(
α
−
β
)
2
+
(
α
−
γ
)
2
+
(
β
−
γ
)
2
+
…
,
a
2
=
(
α
−
β
)
4
+
(
α
−
γ
)
4
+
(
β
−
γ
)
4
+
…
,
a
3
=
(
α
−
β
)
6
+
(
α
−
γ
)
6
+
(
β
−
γ
)
6
+
…
,
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
;
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}=(\alpha -\beta )^{2}+(\alpha -\gamma )^{2}+(\beta -\gamma )^{2}+\ldots ,\\&a_{2}=(\alpha -\beta )^{4}+(\alpha -\gamma )^{4}+(\beta -\gamma )^{4}+\ldots ,\\&a_{3}=(\alpha -\beta )^{6}+(\alpha -\gamma )^{6}+(\beta -\gamma )^{6}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}
il est facile de voir que l’on aura
a
1
=
(
m
−
1
)
A
2
−
2
(
A
1
2
−
A
2
2
)
,
a
2
=
(
m
−
1
)
A
4
−
4
(
A
1
A
3
−
A
4
)
+
6
(
A
2
2
−
A
4
2
)
,
a
3
=
(
m
−
1
)
A
6
−
6
(
A
1
A
5
−
A
6
)
+
15
(
A
2
A
4
−
A
6
)
−
20
(
A
3
2
−
A
6
2
)
,
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}=(m-1)\mathrm {A_{2}-2\left({\frac {A_{1}^{2}-A_{2}}{2}}\right)} ,\\&a_{2}=(m-1)\mathrm {A_{4}-4(A_{1}A_{3}-A_{4})+6\left({\frac {A_{2}^{2}-A_{4}}{2}}\right)} ,\\&a_{3}=(m-1)\mathrm {A_{6}-6(A_{1}A_{5}-A_{6})+15(A_{2}A_{4}-A_{6})-20\left({\frac {A_{3}^{2}-A_{6}}{2}}\right)} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}
ou bien
a
1
=
m
A
2
−
2
A
1
2
2
,
a
2
=
m
A
4
−
4
A
1
A
3
+
6
A
2
2
2
,
a
3
=
m
A
6
−
6
A
1
A
5
+
15
A
2
A
4
−
20
A
3
2
2
,
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
,
{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}=m\mathrm {A_{2}-2{\frac {A_{1}^{2}}{2}}} ,\\&a_{2}=m\mathrm {A_{4}-4A_{1}A_{3}+6{\frac {A_{2}^{2}}{2}}} ,\\&a_{3}=m\mathrm {A_{6}-6A_{1}A_{5}+15A_{2}A_{4}-20{\frac {A_{3}^{2}}{2}}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}