la valeur de
lorsque
sera
étant une quandtité positive et très-petite à volonté. On aura donc
![{\displaystyle f\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+c=0,\quad {\text{et}}\quad f\left(m+n{\sqrt {-1}}+u\right)+c+i=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af77fb1f1df5ee8c71e4c61ad4590290ede41c8d)
développant la valeur de
dans la seconde équation et retranchant la première, on aura
![{\displaystyle uf'\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+{\frac {u^{2}}{2}}f''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right)+\ldots +i=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82d75619c6480bc8731a7295fb5c577c0e9f377)
Mais les fonctions dérivées
![{\displaystyle f'\left(m+n{\sqrt {-1}}\right),\quad f''\left(m+n{\sqrt {-1}}\right),\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47479206b5fc031df565e7a45539cea129345491)
ne contenant que des puissances de
sont toutes réductibles à la forme
ainsi, en prenant des quantités réelles
l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle u\mathrm {\left(M+N{\sqrt {-1}}\right)} +{\frac {u^{2}}{2}}\mathrm {\left(P+Q{\sqrt {-1}}\right)} +\ldots +i=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465d2162936fe0ffcc02db1500d8a8ba6ea98932)
Donc la première valeur approchée de
sera
![{\displaystyle -{\frac {i}{\mathrm {M+N{\sqrt {-1}}} }}=-{\frac {i\mathrm {\left(M-N{\sqrt {-1}}\right)} }{\mathrm {M^{2}+N^{2}} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2d82acdb58219f3ef33738cc54a02fff2d42417)
et par conséquent de la forme
et l’on trouvera que tous les termes suivants de la série, qu’on peut rendre aussi convergente que l’on veut en prenant
très-petite à volonté, seront aussi de la même forme, de sorte que la série entière le sera aussi. On aura donc, pour une valeur de
aussi petite qu’on voudra,
![{\displaystyle u=r+s{\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917da9eb5abb86cc4324c1223a042354a28749a7)
donc la valeur de
sera
![{\displaystyle m+r+(n+s){\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9e8623eed0c29bc0dee367d66bf98b71e8c13c)
et par conséquent encore de la même forme
contre l’hypothèse. Donc il n’y a aucune valeur de
intermédiaire entre les limites
et
pour laquelle la racine
ne soit pas de cette même forme.