laquelle sera réelle ou imaginaire, suivant que
sera une quantité négative ou positive, puisque
est supposée positive.
Si le premier terme de
est réel, il est aisé de voir que tous les autres le seront aussi ; par conséquent, toute la valeur de
sera réelle. Si le coefficient
est positif, le premier terme de
sera imaginaire de la forme
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {2i}{f''(\alpha )}}}{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f0188e7347cfc780d890cf68d5ada6f4f67559)
et les termes suivants seront réels ou imaginaires de la même forme, de sorte que toute la valeur de
sera de la forme
et
étant réelles.
Mais, si l’on avait en même temps
alors, l’équation devenant
![{\displaystyle {\frac {u^{3}}{2.3}}f'''(\alpha )+{\frac {u^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(\alpha )+\ldots +i=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a7c31ca588291a2b268002f7c65a23e9e1a851)
il est aisé de voir que la valeur de
serait de nouveau réelle, à moins que le terme qui contient
ne disparaisse et que
ne soit positif, car, dans ce cas, on aurait
![{\displaystyle u={\sqrt[{4}]{\frac {2.3.4i}{f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(\alpha )}}}{\sqrt[{4}]{-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d2c2896c8f3cad597f2cb57b7b57638ccb5f7e)
mais, par le théorème démontré plus haut (no 5),
est réductible à la forme
et
étant des quantités réelles ; donc la première valeur approchée de
sera de la forme
et les termes suivants seront aussi de la même forme, en sorte que toute la valeur de
sera encore de cette forme, et ainsi de suite.
8. Il résulte de là cette conclusion que, lorsqu’une racine
de l’équation
![{\displaystyle f(x)+a=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3c47d42644e4741150fc2478a04f1aa9af7e76)
est dans le passage du réel à l’imaginaire, on a non-seulement
mais encore
et
et que, si
on aura de plus
et
et ainsi de suite. Or, en