étant une quantité quelconque positive, aussi petite qu’on voudra. Soit
la valeur imaginaire de
dans l’équation
![{\displaystyle f(x)+a+i=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18efb2546de978143231db69160b9572ac3620dd)
la fonction
deviendra, par la substitution de
à la place de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f(\alpha )+uf'(\alpha )+{\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/617603c3a54090b57cb252bb9f796c0bf2a1bdf1)
par la formule connue du développement des fonctions ; mais, puisque
est la racine de l’équation
![{\displaystyle f(x)+a=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f5589ea677dafbd7d63f4459da19d383b57b6eb)
on a
donc
ainsi l’équation
![{\displaystyle f(x)+a+i=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010799754adcbe93e527c57eff6ae6074ba6401f)
deviendra
![{\displaystyle uf'(\alpha )+{\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+\ldots +i=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef83bdd31aa15a7fa407395fe03be8a29b27d4f2)
Or, si le coefficient
n’est pas nul, il est évident qu’en supposant
une quantité très-petite, à volonté, on pourra toujours avoir
par une série très-convergente et toute réelle, car on aura d’abord
![{\displaystyle u=-{\frac {i}{f'(\alpha )}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3432f75c8e8c22164a9c56510d057d19da3dd1)
ensuite, en substituant cette première valeur de
on aura
![{\displaystyle u=-{\frac {i}{f'(\alpha )}}-{\frac {i^{2}f''(\alpha )}{2f'(\alpha ^{2})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4431d6b975de824d5a594b679cc5ef8cd9e0564d)
et ainsi de suite. Donc
sera une quantité réelle, contre l’hypothèse.
Il faudra donc, pour que
devienne imaginaire, que l’on ait
alors l’équation deviendra
![{\displaystyle {\frac {u^{2}}{2}}f''(\alpha )+{\frac {u^{3}}{2.3}}f'''(\alpha )+\ldots +i=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510b2c9aa455cbb5d8cca25f8ad7b53e3ee7b0e5)
et la première valeur approchée de
sera
![{\displaystyle {\sqrt {-{\frac {2i}{f''(\alpha )}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2751982bff792d9ed955d8797b17200b1f2de125)