sant
positive, car on peut faire répondre les
positives à la branche où les
sont réelles.
En faisant
négative, les termes où
se trouve élevée à des puissances fractionnaires dont le dénominateur est un nombre pair deviennent imaginaires, et, par le théorème précédent, ils seront toujours réductibles à la forme
et
étant des quantités réelles. Donc toute la série, et par conséquent la valeur de
lorsqu’elle devient imaginaire, sera aussi de la même forme tant que
sera très-petite.
Maintenant, quelle que soit la valeur de
pour une
quelconque, on peut toujours supposer
et
étant des quantités indéterminées, et, comme cette valeur est réellement double à raison du radical
les quantités
et
seront exprimées par deux équations qu’on aura en substituant
au lieu de
dans l’équation de la courbe, et égalant séparément à zéro la partie toute réelle de la transformée et la partie multipliée par
ces équations contiendront les quantités
et
mêlées ensemble, mais on pourra, par les méthodes connues, les changer en deux autres, dont l’une ne referme que
et
et l’autre
et
Or, si
n’est pas toujours de la même forme
et
étant des quantités réelles pour toutes les valeurs de
soit
la plus grande valeur de
pour laquelle
sera de cette forme, et soit
lorsque
Supposons
et
en substituant ces valeurs dans les deux équations en
et
on aura deux équations, l’une en
et
et l’autre en
et
dans lesquelles
donnera
et
et qui, par la démonstration précédente, donneront
et
de la forme
lorsque
sera très-petite, si
et
deviennent imaginaires. On aura donc alors
![{\displaystyle r=\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad s=\gamma +\delta {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ed9d9eb5dfd71e10c9806783b44180e3de6ac0)
étant des quantités réelles ; donc
![{\displaystyle p=b+\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad q=c+\gamma +\delta {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5494b9881c5f46767e754a7ba319918134c47c)