d’où l’on voit que ces racines seront au nombre de
e t que de plus elles seront égales deux à deux et de signes contraires ; de sorte que l’équation en
manquera nécessairement de toutes les puissances impaires de
donc, en faisant
et
l’équation dont il s’agit sera de cette forme
(D)
|
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2o Que
étant les différentes valeurs de
dans l’équation (D), le coefficient
sera égal à la somme de toutes ces valeurs, le coefficient
sera la somme de tous leurs produits deux à deux, etc.
Or il est facile de voir que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(\alpha -\beta )^{2}+(\alpha -\gamma )^{2}+(\beta -\gamma )^{2},\ldots \\&\qquad =(m-1)\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \right)-2\left(\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots \right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c072b800a68ec469aebd6339f9c5cc3b14b69166)
mais on sait que
![{\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\ldots =\mathrm {B} \quad {\text{et}}\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots =\mathrm {A^{2}-2B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b07dee9d2740d50ae7ff72319ac1c5f6ab2768)
donc on aura
![{\displaystyle a=(m-1)\mathrm {\left(A^{2}-2B\right)-2B} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b577767e7eae2edd42c796dcefa86402358c10ba)
savoir
![{\displaystyle a=(m-1)\mathrm {A} ^{2}-2m\mathrm {B} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e06af9e81e689819f61ddd452d7472dde36e769)
et l’on pourra, de la même manière, trouver la valeur des autres coefficients ![{\displaystyle b,c,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/113c4f53d2e6b22ce517e2d46c8ebfcf1f77bb22)
Pour y parvenir plus facilement, supposons
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} _{1}=\alpha \ \,+\beta \ \,+\gamma \ \,+\ldots ,\\&\mathrm {A} _{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\\&\mathrm {A} _{3}=\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae719ca5da450875b298ce27adbd15076cfb8bc)