quantité essentiellement positive, en prenant le radical positivement ; donc
sera une quantité réelle.
Considérons ensuite la quantité
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{a+b{\sqrt {-1}}}}-{\sqrt[{4}]{a-b{\sqrt {-1}}}}=r\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b38d52d1943a253621f1fdf6bdc4cd5a394e54)
on aura de la même manière
![{\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {-1}}}}-2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}+{\sqrt {a-b{\sqrt {-1}}}}=r^{2}=u-2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eae6a3f56303b749b04d70d53aad647bbe50cc)
quantité essentielleiient négative, car
![{\displaystyle u^{2}=2a+2{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}<4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf709916f70f46bccdce0fac574484a1aca9f17)
et par conséquent
![{\displaystyle u<2{\sqrt[{4}]{a^{2}+b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1d9a3817a336687e35fdd25f5be464b9e11c88)
Donc, faisant
on aura
![{\displaystyle r=\mathrm {S} {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc19a2b6bb8c0b2c4a32a5c466c0872c11da5ff5)
étant une quantité réelle ; donc
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{a\pm b{\sqrt {-1}}}}={\frac {1}{2}}\left(s\pm \mathrm {S} {\sqrt {-1}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6691d29944686178ef6ecd331cb3b436ae84d458)
et ainsi de suite.
6. Ces réductions supposées, d’Alembert considère une courbe quelconque, dont l’ordonnée
soit nulle ou infinie lorsque l’abscisse
est nulle, et il observe que, quelle que puisse être l’équation de la courbe, on peut toujours, lorsque
est très-petit, avoir la valeur de
en
au moyen du parallélogramme de Newton, exprimée par une série très-convergente de la forme
![{\displaystyle y=ax^{\frac {m}{n}}+bx^{\frac {r}{s}}+cx^{\frac {t}{u}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d9d0fbff0224cb1017771c30ccba142fe2faa2)
dans laquelle les exposants de
sont imaginés aller en augmentant, et dont on peut toujours supposer que tous les termes sont réels, en fai-