aura ces deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m(x+yy')-n(xy'-y)}{x^{2}+y^{2}}}=&{\frac {pp'+qq'}{p^{2}+q^{2}}},\\{\frac {n(x+yy')+m(xy'-y)}{x^{2}+y^{2}}}=&{\frac {pq'-qp'}{p^{2}+q^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8065cfd1f2f0912770cd3892bb10a86c1704c8ad)
Qu’on prenne maintenant les fonctions primitives, on aura, en désignant par log les logarithmes hyperboliques et par arc\operatorname{tang}l’angle de la tangente,
![{\displaystyle {\begin{aligned}m\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-n\operatorname {arc\,tang} {\frac {y}{x}}=&\log {\sqrt {p^{2}+q^{2}}}+\mathrm {K} ,\\n\log {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+m\operatorname {arc\,tang} {\frac {y}{x}}=&\operatorname {arc\,tang} {\frac {q}{p}}+\mathrm {H} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e515af313d7f2c1ab7f66eb770813c0fb21ca6e4)
et
étant deux constantes arbitraires qu’il s’agit de déterminez conformément à l’équation primitive donnée. Or, en faisant dans cette équation
et
on a
et
et ces suppositions, étant introduites dans les équations précédentes, donnent
et ![{\displaystyle \mathrm {H} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08c0ec976565f7ae4fcea5daf0da2c3b9f9b30fe)
Si donc on fait pour plus de simplicité
ce qui donne
![{\displaystyle u={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\quad \operatorname {tang} z={\frac {y}{x}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601f5e8a5d78eadd4dd00efbfbbd086f3d92fb92)
et ensuite
![{\displaystyle p=r\cos s,\quad q=r\sin s,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8bb06b11f27cb15a353847d9ec14dfae18310e)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log r=&m\log u-nz,\\s=&n\ \log u+mz,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e04dd1918cccef8ccdadd6a9f8f4f776985d97)
et, en repassant des logarithmes aux nombres,
![{\displaystyle r=u^{m}e^{-nz},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbaad69937d23a09829da440d05a50f6c343635d)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité.
Ainsi
et
et par conséquent
et
seront des fonctions réelles, en supposant
des quantités réelles.