et soit
la différencie entre les deux racines
et
de manière que l’on ait
substituant cette valeur de
dans la dernière équation et ordonnant les termes par rapport à
on aura une équation en
du même degré
laquelle, en commençant par les derniers termes, sera de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {X} +\mathrm {Y} u+\mathrm {Z} u^{2}+\mathrm {V} u^{3}+\ldots +u^{m}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67782088125480360e0c7ec7599dbda76cdd26c5)
les coefficients
étant des fonctions de
telles que
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {X} =x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots ,\\&\mathrm {Y} =mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots ,\\&\mathrm {Z} ={\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}-{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} x^{m-3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cd00d54650941285a9f300a000472b9c30cd57)
c’est-à-dire, suivant la notation du Calcul différentiel,
![{\displaystyle \mathrm {Y} ={\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\quad \mathrm {V} ={\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51b378f97025d9153fc86257d5fcca466c4651ba)
donc, puisque par l’équation donnée (B) on a
l’équation précédente étant divisée par
deviendra celle-ci :
(C)
|
|
|
Cette équation, si l’on y substitue pour
une quelconque des racines de l’équation (B), aura pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres de la même équation (B) ; donc, si l’on combine les équations (B) et (C) en éliminant
on aura une équation en
dont les racines seront les différences entre chacune des racines de l’équation (B) et toutes les autres racines de la même équation ce sera l’équation cherchée.
Mais, sans exécuter cette élimination, qui serait souvent fort laborieuse, il suffira de considérer :
1o Que
étant les racines de l’équation en
celles de l’équation en
seront
![{\displaystyle \alpha -\beta ,\ \alpha -\gamma ,\quad \ldots ,\quad \beta -\alpha ,\ \beta -\gamma ,\quad \ldots ,\quad \gamma -\alpha ,\ \gamma -\beta ,\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0918bfeee4effc0304210141d52e0cfe71102666)