aura nécessairement dans le premier cas
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha _{1})<0,\quad \operatorname {F} (\beta _{1})>0,\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})<0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb20733d3a867021e695f0a0adb8c95b569c72ba)
et, dans le second cas, il y aura une ou plusieurs de ces conditions qui n’auront pas lieu.
D’un autre côté, en substituant successivement les mêmes racines
dans la seconde fonction dérivée
on aura toujours, comme on l’a vu plus haut
![{\displaystyle \operatorname {F} ''(\alpha _{1})>0,\quad \operatorname {F} ''(\beta _{1})<0,\quad \operatorname {F} ''(\gamma _{1})>0,\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b412fb3535ca2cb4ece4687129e6fa9cc97cf5)
Donc, en combinant ces conditions avec les, précédentes, on en conclura que, lorsque les racines de l’équation donnée
sont toutes réelles, les quantités
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha _{1})\times \operatorname {F} ''(\alpha _{1}),\quad \operatorname {F} (\beta _{1})\times \operatorname {F} ''(\beta _{1}),\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})\times \operatorname {F} ''(\gamma _{1}),\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05c9d86cbbd8be91bcd085fb34f6fad94e080f67)
seront toutes négatives, et qu’au contraire il y en aura nécessairement de positives si l’équation donnée a des racines imaginaires.
On aurait le même résultat si l’on considérait les quotients
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {F} (\alpha _{1})}{\operatorname {F} ''(\alpha _{1})}},\quad {\frac {\operatorname {F} (\beta _{1})}{\operatorname {F} ''(\beta _{1})}},\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326dcb0db925c288c73cca6ede698e908a5b1fe)
et en général des fonctions de la forme
![{\displaystyle \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\alpha _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\alpha _{1})\right]^{\nu },\quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\beta _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\beta _{1})\right]^{\nu },\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f99624b4f926968c61af52a2fdfaf247e0e9ea3)
étant un coefficient positif ou une fonction quelconque essentiellement positive, et
des nombres entiers impairs positifs ou négatifs.
Or, si l’on fait
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x)=y,\quad \mathrm {ou,\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral,} \quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (x)\right]^{\mu }\times \left[\operatorname {F} ''(x)\right]^{\nu }=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82363ddbe51d8b857ad96d3c67d73542ccd4b2f2)
et qu’on élimine ensuite
au moyen de l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50c76b4e97d77001d4eb310eb79632b10f29196)
dont les racines sont
on aura une équation en
du même