tution de
au lieu de
dans
donne
![{\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66aca10d3acd9b8365eb1f92c0c1b1fba426fc34)
et la substitution de
au lieu de
dans la même fonction donne
![{\displaystyle (\beta _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\beta )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\beta _{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa7b2d2198708764766a7d1f26626f18359f3ef)
donc le produit de ces deux quantités, savoir la valeur de
sera de la forme
![{\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\beta _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1})\times f(\beta _{1}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e30f7caa93752f30170f564b3074fa07c67ecdae)
Donc ce produit sera positif si aucune des quantités
ne tombe entre les quantités
et il sera négatif si une seule des quantités
tombe entre les quantités
puisque les quantités
et
sont toujours essentiellement positives ; par conséquent, les valeurs de
et de
seront de même signe dans le premier cas et de signe différent dans le second.
On démontrera de la même manière que la substitution de
au lieu de
dans
donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à celui de la substitution de
suivant qu’aucune des racines
ne tombera entre
et
ou qu’il en tombera une, et ainsi de suite.
Enfin, si l’on désigne par
la dernière en grandeur des racines
on trouvera, par l’expression de
en facteurs, que le résultat de la substitution de
au lieu de
dans
sera positif ou négatif, suivant qu’aucune des racines
ne sera plus petite que
ou qu’il y en aura une plus petite que
le nombre de ces racines étant pair, et que, lorsque ce nombre sera impair, le même résultat sera au contraire positif ou négatif, suivant qu’une des mêmes racines sera plus petite que
ou qu’aucune d’elles ne sera moindre que
Or, comme le nombre des racines imaginaires est toujours pair, le nombre des racines réelles
de l’équation
sera nécessairement pair ou impair, suivant que le nombre total des