on aura l’équation identique
![{\displaystyle \operatorname {F} (x)=\varphi (x)\times f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbddd2fce0b85ca2fc7f53e1aa8165c2bbf7c48d)
d’où l’on tirera sur-le-champ l’équation dérivée
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=\varphi '(x)\times f(x)+\varphi (x)\times f'(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b189a2990ca10c3ae6ce0563105d1796dcfdd6)
et l’on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '(x)=&\quad \ (x-\beta )(x-\gamma \,)(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\gamma )(x-\delta )\ldots \\&+(x-\alpha )(x-\beta )(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4319f1176f082b5f3c112f850280a920d654c1)
Supposons que les racines
soient rangées par ordre de grandeur, en commençant par les plus grandes positives et finissant par les plus grandes négatives. Il est facile de voir, par la nature de la fonction
qu’en faisant
on aura
qu’en faisant
on aura
qu’en faisant
on aura
et ainsi de suite. D’un autre côté, en faisant
on a toujours
et
par la nature de ces fonctions. Donc
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x=\alpha &{\text{donnera}}&\operatorname {F} '(x)>0,\\x=\beta &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)<0,\\x=\gamma &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)>0,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b0ac60ff14c326cf5247295989719156421fb07)
et ainsi de suite.
Or, en prenant la fonction dérivée du polynôme
on a
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x)=mx^{m-1}+(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1abe23ee92472b78bf90b8da0057899e3eb659d)
donc l’équation
qui est du degré
aura nécessairement des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines
et
et
et
(Note I).
4. Désignons par
les racines réelles de l’équation
et l’on démontrera de la même manière que
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}x=\alpha _{1}&{\text{donnera}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\\x=\beta _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)<0,\\x=\gamma _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd705ea4b02e371acdd2e2a95ac1a7daab6f03e)
et ainsi de suite.