Soient :
1o
donc
substituant ces valeurs, on a
![{\displaystyle \varphi ^{2}-7\varphi +1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7fc2ab3b2f9275acb5af6a95397baada3e28f0)
faisant
jusqu’à
on a des résultats négatifs ; mais
donne le résultat
donc
donc
![{\displaystyle \alpha =6,\quad \beta =1,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{7}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbf2ad4d75e92f2034b44f38108d8fd964bb2d3)
2o
donc
et l’on a l’équation
![{\displaystyle 5\varphi ^{2}-5\varphi -1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147cd5924e2dd0bd6b7be91b6bcaa8011692df40)
Ici
donne le résultat
donne
donc
et de là
![{\displaystyle \alpha =7,\quad \beta =1,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2929c3cb23621d1c2c29eb5bd99ab5f96408b)
3o
donc
et, substituant, on a l’équation
![{\displaystyle \varphi ^{2}-5\varphi -5=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753d88257a69d7919a7dcac9e6d2fd1fcdb97de9)
Faisant
jusqu’à
on a des résultats négatifs ; mais
donne le résultat
donc
et de là
![{\displaystyle \alpha =41,\quad \beta =6,\quad \mathrm {R} ={\frac {3}{47}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c711d9da9aee5d3dbfb4e352dd65867dd51e0404)
et ainsi de suite.
8. Telle est la méthode d’approximation que Fontaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1747 et qu’il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires. Elle suppose, comme l’on voit, que l’on peut toujours, par la substitution des nombres
au lieu de
dans les différentes équations en
trouver deux nombres qui donnent des résultats de signe différent, ce qui, par ce que nous avons démontré dans le Chapitre I (no 5 et suiv.), n’a lieu qu’autant que ces