signe contraire ; donc
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {A} ,\quad \beta =1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786708e8cabe6eaf1610f6880a662014ed95082f)
Il fait ensuite
et, dans l’équation résultante en
il cherche de même deux substitutions qui donnent des résultats de signe contraire ; nommant
le plus petit des deux nombres, il fait
donc
![{\displaystyle \alpha =\mathrm {AB} +1,\quad \beta =\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/851ba307b19ce3fe31a41286fff8bac695dd75ad)
Il continue de la même manière en faisant
égal à la dernière valeur de
à l’avant-dernière,
à la dernière valeur de
et
à l’avant-dernière.
Substituant ensuite successivement ces valeurs de
et
dans l’expression rationnelle de
qui résulte des deux équations, on a celles de
et
d’autant plus exactement que les opérations sur
et
ont été poussées plus loin.
Pour en donner un exemple, je vais rapporter celui que l’on trouve dans les Mémoires de l’Académie de 1747, p. 672.
Soit l’équation
![{\displaystyle x^{2}-3x+1=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd23bbbf116cbe3a13bcb1a468181b720349ebf)
comme elle se rapporte à la formule
en faisant
si l’on examine les conditions relatives à cette formule dans la Table donnée ci-dessus, on trouve que celle-ci
![{\displaystyle m^{2}-4n>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0090dbfc202a24f28a9779f387e56ec211f476)
a lieu ; d’où l’on conclut que les deux facteurs sont de la forme
![{\displaystyle (x-a)(x-b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c066df08794fa6c11d47e53db548188277a62e89)
On a donc, en développant,
et ![{\displaystyle ab=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/674582cff45c482c3887e5ea59af62086c305e5c)
Soient
on aura
donc
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {3}{\alpha +\beta }}\quad {\text{et}}\quad 9\alpha \beta =(\alpha +\beta )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee526b0336b7c8cca09bca57895e0d6a59615ddb)
savoir
![{\displaystyle \alpha ^{2}-7\alpha \beta +\beta ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93acf387140baf82f31575d2dbf880e4c67cb883)
où l’on fera
et ![{\displaystyle \beta =z\varphi +u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c963d0d038b50b45462635afd0eda8431539da)