NOTE VI.
SUR LA MÉTHODE D’APPROXIMATION TIRÉE DES SÉRIES RÉCURRENTES.
1. Reprenons l’équation
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78efd381566ee5786c1c7f1106e4cf2a9a182)
dont on a désigné les racines par
on aura (Note II), par la nature de ces racines, l’équation identique
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots =(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )(x-\delta )\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d7afde4dd810fd0f05013e521eebea46f993c)
laquelle doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de
.
L’identité de l’équation subsistera donc encore en mettant
au lieu de
quelles que soient les valeurs de
et
donc aussi, si après la substitution on développe suivant les puissances de
les termes affectés de
fourniront d’autres équations identiques ; ce seront les équations que nous avons appelées dérivées dans la Théorie des fonctions.
La première de ces équations dérivées sera
![{\displaystyle mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecee501d7f56525f0567051b7cc3f00c177dc4c)
![{\displaystyle =(x-\beta )(x-\gamma )\ldots +(x-\alpha )(x-\gamma )\ldots +(x-\alpha )(x-\beta )\ldots +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d65b094d3aeb17f190d5d2b8f0681536c5d9d2)
Divisons cette équation par l’équation identique ci-dessus ; on aura
![{\displaystyle {\frac {mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots }{x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\mathrm {C} x^{m-3}+\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc1aa98c60eec606fd06a2fdcbe8ced33bca52a)
![{\displaystyle ={\frac {1}{x-\alpha }}+{\frac {1}{x-\beta }}+{\frac {1}{x-\gamma }}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d2b944fc7e6e961730e8668d3df12624b3a9a0a)
équation qui doit être aussi identique, quelle que soit la valeur de
. Donc elle le sera encore si l’on en développe les deux membres en séries qui procèdent suivant les puissances positives ou négatives de
.