NOTE VI.
SUR LA MÉTHODE D’APPROXIMATION TIRÉE DES SÉRIES RÉCURRENTES.
1. Reprenons l’équation
dont on a désigné les racines par on aura (Note II), par la nature de ces racines, l’équation identique
laquelle doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de .
L’identité de l’équation subsistera donc encore en mettant au lieu de quelles que soient les valeurs de et donc aussi, si après la substitution on développe suivant les puissances de les termes affectés de fourniront d’autres équations identiques ; ce seront les équations que nous avons appelées dérivées dans la Théorie des fonctions.
La première de ces équations dérivées sera
Divisons cette équation par l’équation identique ci-dessus ; on aura
équation qui doit être aussi identique, quelle que soit la valeur de . Donc elle le sera encore si l’on en développe les deux membres en séries qui procèdent suivant les puissances positives ou négatives de .