Car nous avons vu (numéro cité) que les deux autres racines de cette équation sont imaginaires, et qu’en les représentant par
on a à très-peu près
![{\displaystyle \rho ^{2}={\frac {160}{4.31}}={\frac {40}{31}}\quad {\text{et}}\quad \varpi =-{\frac {15}{8\rho ^{2}+4}}=-{\frac {15.31}{4.111}}=-{\frac {465}{444}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f1c1f98dd07d0620226f17b657ddcd15cd5431)
donc, puisque, outre la racine
que l’on cherche, il n’y a que ces deux racines imaginaires, on aura dans ce cas
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {2(\varpi -a)}{(\varpi -a)^{2}+\rho ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c48d4469c4eef166e9966c9c5f9c8f5901d218)
Or,
étant
on a
![{\displaystyle \varpi -a=-{\frac {1353}{444}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb09dc0656a1444e6c568c7de51b7070974bd47)
mais,
étant à très-peu près
on a
![{\displaystyle \alpha -a=0{,}0945\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a96298dae9c4949d0d4c282a54a14cc708763914)
d’où l’on voit d’abord que
et
sont de signes différents, et qu’ainsi, pour que la première correction de
soit juste, il faut que la condition
![{\displaystyle 2(\alpha -a)\mathrm {R} +1>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d93afc6f3d9d56a3ff52dc09ce5227a43efd3ef)
ait lieu. Or on trouve
![{\displaystyle \mathrm {R} =-0{,}6575\quad {\text{et de là}}\quad 2(\alpha -a)\mathrm {R} =-0{,}1244\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4f0ecccb817e6ce4a75a2fa703714b294c5c1a)
de sorte que la condition dont il s’agit est amplement satisfaite. Ainsi on est assuré que la première valeur corrigée
approchera davantage de la vraie valeur de la racine. En prenant cette valeur pour
on a
![{\displaystyle \alpha -a=-0{,}0055\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a871e31b582482180f825dc695fadabb8989505)
donc,
et
étant maintenant de même signe, les corrections suivantes approcheront toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine cherchée.