NOTE V.
SUR LA MÉTHODE D’APPROXIMATION DONNÉE PAR NEWTON.
Comme la méthode de Newton pour la résolution approchée des équations numériques est la plus connue et la plus usitée, à cause de sa simplicité, il est important d’apprécier le degré d’exactitude dont elle est susceptible ; voici comment on peut y parvenir.
1. Soit l’équation générale du degré
dont on cherche une racine. La méthode dont il s’agit demande qu’on connaisse d’avance une valeur approchée de la racine cherchée ; en désignant cette valeur par on fera et l’on aura par cette substitution une équation transformée en qui, à commencer par les derniers termes, sera de la forme
où les quantités seront des fonctions de qu’on trouvera tout de suite par les formules du no 8, en changeant en ainsi l’on aura
Comme doit être, par l’hypothèse, une quantité assez petite, étant la différence entre la vraie racine et la valeur supposée de cette racine,