On aura donc ici
![{\displaystyle \mathrm {X} =x^{3}-7x+7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5def7752573f421283925866779a305ab5c63730)
et les fonctions dérivées seront
![{\displaystyle \mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {X} ''=6x,\quad \mathrm {X} '''=6,\quad \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d20bc6388ff85facdcd23c1464225a50a5f8ae81)
donc
![{\displaystyle \mathrm {Y} =\mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {X} ''}{2}}=3x,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {X} '''}{2.3}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed937511e54a63ddf71b73298cb66c21bb50be2)
et l’équation en
sera du second degré.
On prendra pour
le polynôme indéterminé du second degré
![{\displaystyle x^{2}+ax+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f911332de8de019df4af5d6dcd46fb2950c10656)
et, en le multipliant par le polynôme
on aura
![{\displaystyle \mathrm {Y} \xi =3x^{4}+3ax^{3}+(3b-7)x^{2}-7ax-7b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b082bbfa56cf45e6ffc94aad37225bbaf408dd)
Mais l’équation
donne
![{\displaystyle x^{3}=7x-7\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6e482acd0dd024f579cc7b4731ef7be4fe2b2e6)
donc
![{\displaystyle x^{4}=7x^{2}-7x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01eb630e7be184489bc1b5aa6791df8fbce07938)
Faisant ces substitutions, on aura
![{\displaystyle \mathrm {Y} \xi =(3b+14)x^{2}+(14a-21)x-21a-7b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753dc49e86f46c0e7113f36a3273004920506366)
On fera donc
![{\displaystyle 3b+14=0,\quad 14a-21=0,\quad -21a-7b=\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441f448eeff46dd5f47ee93b8bbcb367de60e4cc)
d’où l’on tire
![{\displaystyle a={\frac {3}{2}},\quad b=-{\frac {14}{3}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {K} ={\frac {7}{6}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4634e1cad5fd80ca52e9c960f32ee0986614e8e)
Ainsi, puisque la quantité
n’est pas nulle, on en conclura d’abord que l’équation n’a pas de racines égales.
Maintenant on aura
![{\displaystyle \xi =x^{2}+{\frac {3x}{2}}-{\frac {14}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1e0dc91f10966ecbd7edf6d8c5e0a483bb3a58c)