que je représenterai, pour plus de simplicité, par
![{\displaystyle \mathrm {X} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca8dc2651d88586d89107f14e855ce619785d9a6)
qu’on en déduise cette équation en
du degré
(no 8)
![{\displaystyle \mathrm {Y} +\mathrm {Z} u+\mathrm {V} u^{2}+\ldots +u^{m-1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f2abee3a1fc196ec9430408eb22c80592e1884)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Y} =&mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots ,\\\mathrm {Z} =&{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}-{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} x^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}-\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8a9c730f1096ac574fd72de8f235299aadb1d9)
savoir,
![{\displaystyle \mathrm {Y=X',\quad Z={\frac {X''}{2}},\quad V={\frac {X'''}{2.3}}} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0915e507233645287cc2c2fa0e7c9eed8cb668f8)
étant les fonctions dérivées de
ou les coefficients différentiels ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\ {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\ {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e17938492b9bc7fc0faa683f04eae06991ec93f)
On a vu dans le problème du no 8 que, si l’on substitue dans cette équation en
à la place de
une quelconque des racines de l’équation
elle aura alors pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres racines de la même équation. Donc, si l’on y substitue successivement les
racines de l’équation
on aura
équations en
dont les racines seront toutes les différences possibles entre les racines de l’équation proposée par conséquent, il ne s’agira que de trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de chacune de ces
équations.
Donc, si l’on fait
ce qui changera l’équation en
en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {Z} }{i}}+{\frac {\mathrm {V} }{i^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{i^{m-1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa089f7b8d8d4a50ae5a56001ba2aecf70157a83)
ou bien, en multipliant par
et divisant par ![{\displaystyle \mathrm {Y} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccfe55c77be1229851f04a8368f8b6f25f51f47d)
![{\displaystyle i^{m-1}+\mathrm {\frac {Z}{Y}} i^{m-2}+\mathrm {\frac {V}{Y}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {Y} }}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2515f438bb1cfca0fd667f956e96a2a515a9741)