Comme ces deux expressions sont identiques, on y peut faire
tout ce qu’on voudra. Qu’on suppose donc successivement
et qu’on ajoute ensemble les résultats de ces substitutions, on aura
![{\displaystyle (\alpha -\beta )^{s}+(\alpha -\gamma )^{s}+\ldots +(\beta -\alpha )^{s}+(\beta -\gamma )^{s}+\ldots +(\gamma -\alpha )^{s}+(\gamma -\beta )^{s}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b0e8942e7ea5164153a6ac415a7550df185d88)
![{\displaystyle =m\mathrm {A} _{s}-s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}-{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{s-3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc9ed7b53aafa2439404b20d12df7d2247b334e)
ce qui est évident, puisque, par la notation qu’on a employée, on a, en général,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{s}=\alpha ^{s}+\beta ^{s}+\gamma ^{s}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75fbd6dd97d34f18ec4492f96140cece943a6c17)
Lorsque
est un nombre impair, il est facile de voir que le premier membre de cette équation devient nul par la destruction mutuelle de tous les termes, et le second membre devient nul aussi de lui-même en remarquant que l’on doit avoir
nombre des racines.
Mais, lorsque
est un nombre quelconque pair
le premier membre devient égal à
suivant la notation des termes de la seconde série ; ainsi on aura
![{\displaystyle 2a_{\mu }=m\mathrm {A} _{2\mu }-2\mu \mathrm {A_{1}A} _{2\mu -1}+{\frac {2\mu (2\mu -1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{2\mu -2}-{\frac {2\mu (2\mu -1)(2\mu -2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{2\mu -3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39eb2aa696bd294a2eba5e570fb5841dd649c8fa)
Comme les termes de cette série se trouvent les mêmes de part et d’autre du terme du milieu, qui contient
en réunissant les termes égaux et divisant par
on aura la formule générale de la valeur de
que j’ai donnée dans l’endroit cité.
2. On pourrait, de la même manière, trouver des formules pour les sommes des racines prises deux à deux ; car, en considérant la quantité
![{\displaystyle (x+\alpha )^{s}+(x+\beta )^{s}+(x+\gamma )^{s}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20c4f32121b62f1d7c0b78d6a7237c06f757767d)
on aura, par le développement, cette expression identique
![{\displaystyle mx^{s}+s\mathrm {A_{1}} x^{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}} x^{s-2}+{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}} x^{s-3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6646780faf584076aa87dea9edbddf9eab33422)