donc, réunissant tous les quotients et les ordonnant suivant les puissances de
on aura
![{\displaystyle \left(x^{m}\ldots \right)-\left(a^{m}\ldots \right)=(x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf71cbcd8ad68fb672d27f884ed1d959a97073a)
étant un polynôme en
du degré inférieur
Ainsi on aura, quelle que soit la quantité ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle \left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right)+\left(a^{m}\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ef356ca9f71e50ba7a2eac01a151b78cc1201f)
De la même manière, en prenant une autre quantité quelconque
on pourra réduire le polynôme
à cette forme,
![{\displaystyle \left(x^{m-1}\ldots \right)=(x-b)\left(x^{m-2}\ldots \right)+\left(b^{m-1}\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9489ee9d6663ac94b98271668c903e81c0550d60)
étant un autre polynôme du degré inférieur
et ainsi de suite.
Maintenantje remarque que, si l’on a l’équation
et que
soit une des racines de cette équation, c’est-à-dire une valeur de
qui y satisfasse, on aura aussi
donc le polynôme
sera alors réductible à la forme
![{\displaystyle (x-a)\left(x^{m-1}\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f730184961be8617f111b16fa4ff9b86b172b6)
et par conséquent divisible exactement par ![{\displaystyle x-a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e3a9840ccedfdb25d214ee76df36908829f21b)
Si, outre la quantité
il y a une autre quantité
qui satisfasse à la même équation
il faudra que cette quantité, étant prise pour
fasse évanouir l’autre facteur
et soit, par conséquent, telle que l’on ait
Donc le polynôme
sera réductible à la forme
et, par conséquent, on aura
![{\displaystyle \left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)(x-b)\left(x^{m-2}\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e522f470e099a56860ec8f5a5f5f26f5377f992)
de sorte que le premier polynôme
sera exactement divisible par
et par
et ainsi de suite.
Si donc l’équation
=0 n’a qu’un nombre
moindre que
de racines réelles
on aura d’abord
![{\displaystyle \left(x^{m}\ldots \right)=(x-a)(x-b)(x-c)\ldots \left(x^{m-n}\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afbd72f0ae93364df03f7112dd938149552f1ec2)