cas (no 84)
et l’on pourra prendre
![{\displaystyle \Delta =2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},\quad \Pi =\sin {\frac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4c062b07a6d600bd57aae695e632e4d0b083c0)
à cause que
est le plus petit de tous les
donc la condition du no 85 aura lieu si
![{\displaystyle {\cfrac {1}{2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}-1}}+{\cfrac {m-1}{\sin {\cfrac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0efecc5b46bde7ce6f7731393319a00687e8e100)
donc elle aura lieu sûrement toutes les fois qu’on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n}{\sin {\cfrac {360^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/702d40fd4f9844b6c7f947ff034393550646b12f)
2o Soit
impair et
l’équation n’aura qu’une seule racine réelle
et elle en aura
imaginaires de la forme
![{\displaystyle \left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c745d49ae875cc97d7c0ff939c0f31bca480a4f9)
en faisant successivement
jusqu’à
donc on aura dans ce cas
et, comme le plus petit des
est
ou
à cause de
on pourra prendre
![{\displaystyle \Pi =\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91ca7723774786d28b79e18d0ecd972a0b079fa8)
de sorte que la condition du numéro cité aura lieu si
![{\displaystyle {\cfrac {m}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548b6945ffee1e35392c5cdb81047925f316e30b)
c’est-à-dire si l’on a
![{\displaystyle \mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n-1}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5251d0ed61d83848971ade8b819876c77f6235d)