et
étant prises positivement, on sera sûr que la racine
tombera entre les limites proposées.
Or, pour avoir les nombres
et
lorsqu’on ne connaît pas d’avance les racines de l’équation proposée, il n’y aura qu’à chercher dans l’équation des différences (D) du no 8 la limite
des racines positives et la limite
des racines négatives, et l’on pourra prendre pour un nombre quelconque
ou
et pour
un nombre quelconque
ou
cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l’endroit cité.
85. Si l’on avait
![{\displaystyle {\frac {\mu -1}{\Delta -1}}+{\frac {\nu }{\Pi }}<{\frac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a17b71ab16cf3e7291fd258aeda3fb7fc78131)
alors la condition requise aurait lieu dès le commencement de la série ; de sorte qu’on pourrait approcher de la valeur de
sans aucun tâtonnement voici le procédé du calcul.
Ayant trouvé la première valeur entière approchée de
qu’on pourra prendre plus petite ou plus grande que
à volonté, et nommant cette valeur
on aura les deux premières fractions
1o On fera donc
![{\displaystyle \varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =p,\quad \rho '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8f1644c7383a9ed828a4e0850d654bb776d9f1)
et, substituant ces valeurs dans l’expression de
(no 82), on prendra le nombre entier qui approchera le plus de
![{\displaystyle {\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc965a0ea3264f59577a6fd2f6c480de901efa8)
c’est-à-dire de
lequel étant nommé
on aura la fraction
![{\displaystyle {\frac {k\rho +\varpi }{k\rho '+\varpi '}}={\frac {kp+1}{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774ddeb039f7a80b2932e9d0e358b5b4f82bcb20)
2o On fera
![{\displaystyle \varpi =p,\quad \varpi '=1,\quad \rho =kp+1,\quad \rho '=k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34633b94bffaf0f3817aa6accaa2a3ea9d5bb47f)