Donc, si l’on dénote par
la racine cherchée, et par
les autres racines de l’équation en
qui sont au nombre de
et qu’on dénote de même par
les valeurs correspondantes de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}t\ \ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t'\ &=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\t''&=\pm {\frac {1}{\rho '^{2}\left({\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''\right)}}-{\frac {\varpi '}{\rho '}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8313f8d23563ec6e926bb9910411b0a718abc758)
Mais l’équation en
donne
![{\displaystyle a=t+t'+t''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c59b77f77288887835d40853df52356eb7d21b)
donc, substituant les valeurs de
que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de
on aura
![{\displaystyle a=t-{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\pm {\cfrac {1}{\rho '^{2}}}\left({\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x''}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {\rho }{\rho '}}-x'''}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c3c3fb23439e7884fdcfd1795d66797f91bde2)
Or nous avons trouvé (no 73)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a79460d7db26b5fd6e665c608ca9e8328065a6f)
ou bien, en faisant ![{\displaystyle \rho 't+\varpi '=\psi \rho ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76ce262b87c9636c6a8189e70894cb728649a47)
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=x\pm {\frac {1}{\psi \rho '^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8c48849a3718a5f23bce81d07aea805df23005)
où l’on remarquera que,
étant renfermé entre les limites
et
qui sont l’une et l’autre plus grandes que
(no 72), la quantité
sera nécessairement plus grande que l’unité. Donc, faisant cette substitution dans la formule précédente, on aura
![{\displaystyle t=a+{\cfrac {(n-1)\varpi '}{\rho '}}\mp \left({\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+{\cfrac {1}{\rho '^{2}(x-x'')\pm {\cfrac {1}{\psi }}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f26cae28cd2cfa54ddb952cd20356e4957b322)