mieux avoir une suite de termes décroissants, on remarquerait que
![{\displaystyle {\frac {\beta }{\beta '}}-{\frac {\alpha }{\alpha '}}={\frac {\beta \alpha '-\alpha \beta '}{\alpha '\beta '}}={\frac {1}{\alpha '\beta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0e0992fde889db755fea6b1a93fd7265eaebce)
et, de même,
![{\displaystyle {\frac {\gamma }{\gamma '}}-{\frac {\beta }{\beta '}}=-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\quad {\frac {\delta }{\delta '}}-{\frac {\gamma }{\gamma '}}={\frac {1}{\gamma '\delta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59ebee2324fbb764b61445e9a1cba92d0a66435)
et ainsi de suite ; d’où l’on tire, à cause de ![{\displaystyle \alpha '=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28b0fc355e714a56b3301e61309de8c3d0336902)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\beta }{\beta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}},\\{\frac {\gamma }{\gamma '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}},\\{\frac {\delta }{\delta '}}=&\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae6d01dfbd5f51f990c1226c30b05500311c2fd)
et en général
![{\displaystyle {\frac {\rho }{\rho '}}=\alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+{\frac {1}{\gamma '\delta '}}-\ldots \pm {\frac {1}{\varpi '\rho '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906aaf4473c1d7912c54843537009f7a0081167c)
Ainsi l’on aura, pour la valeur de
la série
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddb77928e90a8f588d177d6c4b5fbecf27d3e236)
laquelle en approchera d’autant plus qu’elle sera poussée plus loin ; et si, après avoir continué cette série jusqu’à un terme quelconque
on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de
on sera assuré que l’erreur se trouvera entre ces deux limites
et
(no 73), de sorte qu’elle sera nécessairement moindre que ![{\displaystyle {\frac {1}{\rho '^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af64a7c39a4db4fa140b215bfc8489560ccf57a3)
76. Il est à remarquer que chaque terme de la série
![{\displaystyle \alpha +{\frac {1}{\alpha '\beta '}}-{\frac {1}{\beta '\gamma '}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb3450f707f8708db4246c7c6865864c6664eff)