Et si
est la valeur entière approchée de
soit plus grande ou plus petite que
on aura
![{\displaystyle \sigma =\rho k+\varpi ,\quad \sigma '=\rho 'k+\varpi '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3a76c59614317227030de7e91ef4fc27ba7215)
73. Cela posé, considérons la fraction
et voyons combien elle diffère de la vraie valeur de
pour cela, nous aurons
![{\displaystyle x-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho l+\varpi }{\rho 'l+\varpi '}}-{\frac {\rho }{\rho '}}={\frac {\rho '\varpi -\rho \varpi '}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}=\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e35fb56ff4bc3371b29b866a5e76632f7f28c8c7)
donc
![{\displaystyle x={\frac {\rho }{\rho '}}\mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968aae7588460069edc30d9d05fbb3c92e780a9a)
Ainsi l’erreur sera
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '(\rho 't+\varpi ')}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa030953c072ee96866f419a25a0c9724d351d6b)
or, si
et
sont les deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de
il est clair que la quantité
tombera entre ces deux
et
et qu’ainsi l’erreur de la fraction
sera renfermée entre ces deux limites
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '(\rho '\theta +\varpi ')}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\left[\rho '(\theta +1)+\varpi '\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad44febd5fc117b855b3281b11c49f9a77d3de5)
Or on peut prendre
ou
de sorte qu’on aura :
![{\displaystyle \sigma '=\rho '\theta +\varpi '\quad {\text{ou}}\quad =\rho '(\theta +1)+\varpi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebb3fbf3134464562c8bcef76da3e2376f44dfa)
d’où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme
le dénominateur de la fraction qui suit
lorsqu’on prend la valeur approchée de
en défaut, et
le dénominateur de la même fraction lorsqu’on prend la valeur approchée de
en excès, l’erreur de la fraction
sera nécessairement renfermée entre ces deux limites
![{\displaystyle \mp {\frac {1}{\rho '\sigma '}}\quad {\text{et}}\quad \mp {\frac {1}{\rho '\Sigma '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e06909dc00af7dfa97c96492774546f3cd0aa5fd)
D’où l’on voit que l’erreur ira toujours en diminuant d’une fraction