d’où l’on voit que les nombres
n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions
seront déjà réduites à leurs moindres termes ;
2o Que les nombres
et
pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de
est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de
sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;
3o Que l’on aura, à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92bedfeb30c83af1351a8b9f2b2f6e25a0afdf)
72. Donc, en général, si
sont trois termes consécutifs quelconques de la série
et
les termes correspondants de la série
en sorte que
soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de
on aura
![{\displaystyle \rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8c1c91cea82e0489605120b5daadc9d3265824)
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction
est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction
de plus, on aura (abstraction faite des signes)
![{\displaystyle \rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356678de1e371e4b531d7163039d10ad5a16ab4b)
enfin, si l’on dénote par
le terme correspondant dans la série
on aura rigoureusement
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76c20012c663ab69ef754766140efdc81a63cdd)
d’où l’on voit que les nombres
n’auront aucun diviseur commun, et que par conséquent les fractions
seront déjà réduites à leurs moindres termes ;
2o Que les nombres
et
pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de
est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de
sera négative), et qu’abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant ;
3o Que l’on aura, à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=&{\frac {\alpha y+1}{\alpha 'y}},\\x=&{\frac {\beta z+\alpha }{\beta 'z+\alpha '}},\\x=&{\frac {\gamma u+\beta }{\gamma 'u+\beta '}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c92bedfeb30c83af1351a8b9f2b2f6e25a0afdf)
72. Donc, en général, si
sont trois termes consécutifs quelconques de la série
et
les termes correspondants de la série
en sorte que
soient trois fractions consécutives convergentes vers la valeur de
on aura
![{\displaystyle \rho \varpi '-\varpi \rho '=\pm 1,\quad {\text{et}}\quad \sigma \rho '-\rho \sigma '=\mp 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8c1c91cea82e0489605120b5daadc9d3265824)
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction
est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à compter depuis la première fraction
de plus, on aura (abstraction faite des signes)
![{\displaystyle \rho >\varpi ,\quad \sigma >\rho ,\quad \rho '>\varpi ',\quad {\text{et}}\quad \sigma '>\rho '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356678de1e371e4b531d7163039d10ad5a16ab4b)
enfin, si l’on dénote par
le terme correspondant dans la série
on aura rigoureusement
![{\displaystyle x={\frac {\rho t+\varpi }{\rho 't+\varpi '}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76c20012c663ab69ef754766140efdc81a63cdd)