Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 7.djvu/99

voici comment il faudra s’y prendre pour trouver toutes les valeurs de $x$ qui pourront rendre la quantité

$a+bx+dx^{2}+fx^{3}+hx^{4}+\ldots$

divisible par le nombre donné $c\,;$ je suppose d’abord qu’on ait trouvé un nombre entier $n$ qui satisfasse à cette condition ; il est facile de voir que tout nombre de la forme $n\pm \mu c$ y satisfera aussi, $\mu$ étant un nombre quelconque entier ; de plus, si $n$ est $>{\frac {c}{2}}$ (abstraction faite des signes de $n$ et de $c$), on pourra toujours déterminer le nombre $\mu$ et le signe qui le précède, en sorte que le nombre $n\pm \mu c$ devienne $<{\frac {c}{2}}\,;$ et il est aisé de voir que cela ne saurait se faire que d’une seule manière, les valeurs de $n$ et de $c$ étant données ; donc, si l’on désigne par $n_{1}$ cette valeur de $n\pm \mu c,$ laquelle est $<{\frac {c}{2}},$ et qui satisfait à la condition dont il s’agit, on aura, en général,

$n=n_{1}\mp \mu c,$

$\mu$ étant un nombre quelconque.

D’où je conclus que, si l’on substitue successivement, dans la formule

$a+bx+dx^{2}+fx^{3}+\ldots ,$

à la place de $x$ tous les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne passent pas ${\frac {c}{2}},$ et qu’on dénote par $n_{1},n_{2},n_{3},\ldots$ ceux de ces nombres qui rendront la quantité $a+bx+dx^{2}+\ldots$ divisible par $c,$ tous les autres nombres qui pourront faire le même effet seront nécessairement renfermés dans ces formules

$n_{1}\pm \mu _{1}c,\quad n_{2}\pm \mu _{2}c,\quad n_{3}\pm \mu _{3}c,\quad \ldots ,$

$\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ étant des nombres quelconques entiers.

On pourrait faire ici différentes remarques pour faciliter la recherche des nombres $n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \,;$ mais nous ne croyons pas devoir nous arrêter davantage sur ce sujet, d’autant que nous avons déjà eu occasion de le traiter dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l’Académie de Berlin