Soit supposé
et qu’on élimine de ces deux équations par les règles ordinaires de l’Algèbre ; on aura une équation finale de cette forme
où les coefficients seront des fonctions rationnelles et entières des nombres ,
Maintenant, puisque on aura aussi de sorte qu’en substituant cette valeur de il viendra
où l’on voit que tous les termes sont multipliés par à l’exception du premier terme donc il faudra que le nombre soit divisible par le nombre autrement il serait impossible que les nombres et pussent être entiers à la fois.
On cherchera donc tous les diviseurs du nombre entier connu et l’on prendra successivement chacun de ces diviseurs pour on aura par chacune de ces suppositions une équation déterminée en dont on cherchera par les méthodes connues les racines rationnelles et entières, s’il y en a ; on substituera ensuite ces racines à la place de et l’on verra si les valeurs résultantes de et de seront telles que soit un nombre entier. On sera sûr de trouver par ce moyen, toutes les valeurs entières de qui peuvent donner aussi des valeurs entières pour y dans l’équation proposée.
De là on voit que le nombre des solutions en entiers de ces sortes d’équations est toujours nécessairement limité ; mais il y a un cas qui doit être excepté, et qui échappe à la méthode précédente.
47. Ce cas est celui où les coefficients sont nuls, en sorte que l’on ait simplement
