45. On doit la première solution de ce Problème à Bachet de Méziriac, qui l’a donnée dans la seconde édition de ses Récréations mathématiques, intitulées Problèmes plaisans et délectables, etc. La première édition de cet Ouvrage a paru en 1612 ; mais la solution dont il s’agit n’y est qu’annoncée, et ce n’est que dans l’édition de 1624 qu’on la trouve complète. La méthode de Bachet est très-directe et très-ingénieuse, et ne laisse rien à désirer du côté de l’élégance et de la généralité.
Nous saisissons avec plaisir cette occasion de rendre à ce savant Auteur la justice qui lui est due sur ce sujet, parce que nous avons remarqué que les géomètres qui ont traité le même Problème après lui n’ont jamais fait aucune mention de son travail.
Voici en peu de mots à quoi se réduit la méthode de Bachet. Après avoir fait voir comment la solution des équations de la forme
et étant premiers entre eux, se réduit à celle de
il s’attache à résoudre cette dernière équation, et pour cela il prescrit de faire entre les nombres et la même opération que si l’on voulait chercher leur plus grand commun diviseur (c’est aussi la même que nous avons pratiquée ci-devant) ; ensuite, nommant les restes provenant des différentes divisions, et supposant, par exemple, que soit le dernier reste, qui sera nécessairement égal à l’unité (à cause que et sont premiers entre eux, hyp.), il fait, lorsque le nombre des restes est pair, comme dans ce cas,
ces derniers nombres et seront les plus petites valeurs de et
