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Or l’équation

$a_{1}p-b_{1}q=\pm 1$

est toujours résoluble en nombres entiers, comme nous l’avons démontré dans le n^o 23 ; et, pour trouver les plus petites valeurs de $p$ et de $q$ qui y peuvent satisfaire, il n’y aura qu’à convertir la fraction ${\frac {b_{1}}{a_{1}}}$ en fraction continue par la méthode du n^o 4, et en déduire ensuite la série des fractions principales convergentes vers la même fraction ${\frac {b_{1}}{a_{1}}}$ par les formules du n^o 10 ; la dernière de ces fractions sera la fraction même ${\frac {b_{1}}{a_{1}}},$ et, si l’on désigne l’avant-dernière par ${\frac {p}{q}},$ on aura, par la loi de ces fractions (n^o 12),

$a_{1}p-b_{1}q=\pm 1,$

le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction ${\frac {p}{q}}$ est pair, et l’inférieur pour celui où ce quantième est impair.

Ces valeurs de $p$ et de $q$ étant ainsi connues, on aura donc d’abord

$x=\pm pc_{1},\quad y=\pm qc_{1},$

et, prenant ensuite ces valeurs pour $\alpha$ et $\nu ,$ on aura, en général (n^o 42),

$x=\pm pc_{1}+mb_{1},\quad y=\pm qc_{1}+ma_{1},$

expressions qui renfermeront nécessairement toutes les solutions possibles en nombres entiers de l’équation proposée.

Au reste, pour ne laisser aucun embarras dans la pratique de cette méthode, nous remarquerons que, quoique les nombres $a$ et $b$ puissent être positifs ou négatifs, on peut néanmoins les prendre toujours positivement, pourvu qu’on donne des signes contraires à $x$ si $a$ est négatif, et à $y$ si $b$ est négatif.

Exemple.

44. Pour donner un exemple de la méthode précédente, nous prendrons celui du n^o 14 du Chapitre I^er du Traité précédent, où il s’agit de