et par conséquent
![{\displaystyle ax-by=a\alpha -b\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a0b0779f98387b88c3fe4c9a52dd12a9e002dd)
ou bien
![{\displaystyle a(x-\alpha )-b(y-\beta )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e0b7044b46d7ef18261fc07fb55cccd56182134)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c053e4d68efb289b9371f0ae5e8845427fa697)
Qu’on réduise la fraction
à ses moindres termes, et supposant qu’elle se change par là en celle-ci
où
et
seront premiers entre eux, il est visible que l’équation
![{\displaystyle {\frac {x-\alpha }{y-\beta }}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f0b05f337f65f51b24f3a5b28ceb6be4afc827)
ne saurait subsister dans la supposition que
et
soient des nombres entiers, à moins que l’on ait
![{\displaystyle x-\alpha =mb_{1},\quad y-\beta =ma_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86baab7820fffdd6b78885918122dd981d50db75)
étant un nombre quelconque entier ; de sorte que l’on aura, en général,
![{\displaystyle x=\alpha +mb_{1},\quad y=\beta +ma_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee109dfa04ce311198126bd1414090a9877a4dda)
étant un nombre entier indéterminé.
Comme on peut prendre
positif ou négatif à volonté, il est facile de voir qu’on pourra toujours déterminer ce nombre
en sorte que la valeur de
ne soit pas plus grande que
ou que celle de
ne soit pas plus grande que
(abstraction faite des signes de ces quantités) ; d’où il s’ensuit que, si l’équation proposée
![{\displaystyle ax-by=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6747421a0d513853fb779bc85a0cd6073c080da8)
est résoluble en nombres entiers, et qu’on y substitue successivement à