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de sorte qu’en connaissant les $\varpi +2p$ premiers termes de chacune de ces trois suites, on connaîtra aussi tous les suivants, qui ne seront autre chose que les $2\rho$ derniers termes répétés à l’infini dans le même ordre.

De tout cela il s’ensuit que, pour trouver la plus petite valeur de

$\mathrm {P} =\mathrm {A} p^{2}+\mathrm {B} pq+\mathrm {C} q^{2},$

il suffit de pousser les séries $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2}} ,\ldots$ et $\mathrm {Q_{0},Q_{1},Q_{2}} ,\ldots$ jusqu’à ce que deux termes correspondants, comme $\mathrm {P} _{\varpi }$ et $\mathrm {Q} _{\varpi },$ reparaissent ensemble après un nombre pair de termes intermédiaires, en sorte que l’on ait

$\mathrm {P_{\varpi +2\rho }=P_{\varpi },\quad {\text{et}}\quad Q_{\varpi +2\rho }=Q_{\varpi }} \,;$

alors le plus petit terme de la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{\varpi +2\rho }}$ sera le minimum cherché.

Corollaire I.

35. Si le plus petit terme de la série $\mathrm {P_{0},P_{1},P_{2},\ldots ,P_{\varpi +2\rho }} ,\ldots$ ne se trouve pas avant le terme $\mathrm {P} _{\varpi },$ alors ce terme reparaîtra une infinité de fois dans la même suite prolongée à l’infini ; ainsi il y aura alors une infinité de valeurs de $p$ et de $q$ qui répondront au minimum, et qu’on pourra trouver toutes par les formules du n^o 25, en continuant la série des nombres $\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3},\ldots$ au delà du terme $\mu _{2\rho +\varpi }$ par la répétition des mêmes termes $\mu _{\varpi +1},\mu _{\varpi +2},\ldots ,$ comme on l’a dit plus haut.

On peut aussi, dans ce cas, avoir des formules générales qui représentent toutes les valeurs de $p$ et de $q$ dont il s’agit ; mais le détail de la méthode qu’il faut employer pour y parvenir nous mènerait trop loin ; quant à présent, nous nous contenterons de renvoyer pour cet objet aux Mémoires de Berlin déjà cités, année 1768, pages 123 et suivantes^[1], où l’on trouvera une Théorie générale et nouvelle des fractions continues périodiques.

Corollaire II.

36. Nous avons démontré, dans le n^o 34, qu’en continuant la série $\mathrm {P_{1},P_{2},P_{3}} ,\ldots ,$ on doit trouver des termes consécutifs de signes diffé-

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 538 et 581.