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résultat qui coïncide avec le principe général des forces vives. Dans le cas particulier de $n=1,$ on supposera d’abord $1-n$ infiniment petit, et l’on en conclura

$m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mu }{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}}dx=2\pi c^{2}k\int _{0}^{\alpha }\left(\log {\frac {dz}{dx}}\right)dx.$

4. Dans la solution que Robins et d’autres auteurs ont donnée du Problème qui nous occupe, on suppose que la densité du gaz est la même dans toute son étendue, et qu’elle ne varie qu’avec le temps. En désignant par $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ des fonctions de $t,$ on a donc

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {T} ,\quad z=\mathrm {T} x+\mathrm {T} '\,;$

et si l’on détermine $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ de manière qu’on ait $z=y'$ et $z=y,$ pour $x=0$ et $x=\alpha ,$ il en résultera

$z=(y-y'){\frac {x}{\alpha }}+y',$

expression qui satisfait aussi à la condition $z=x$ quand $t=0,$ puisque alors on a $y'=0$ et $y=\alpha .$ De plus, on néglige, dans la solution dont il s’agit, la masse de la poudre par rapport à celle du boulet. Pour obtenir cette solution, je supprime donc les termes multipliés par $\mu$ dans les premiers membres des équations (3) et (4), et je substitue cette valeur de $z$ dans le second membre de l’équation (4) ; il en résulte

(5)

$\left\{{\begin{aligned}m\ {\frac {dy}{dt}}+\ m'{\frac {dy'}{dt}}\ =&0,\\m{\frac {dy^{2}}{dt^{2}}}+m'{\frac {dy'^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left[\left({\frac {y-y'}{\alpha }}\right)^{1-n}-1\right],\end{aligned}}\right.$

et, en intégrant la première de ces deux équations, on a

$my+m'y'=m,$

ce qui fera connaître l’une des deux inconnues $y$ et $y',$ quand l’autre sera déterminée.

Pour séparer les variables dans la seconde équation (5), je fais

$y-y'=\theta ,\quad y+y'=\theta '\,;$

de sorte que $\theta$ soit, à un instant quelconque, la distance du boulet à la culasse. Les équations (5) deviennent

${\begin{aligned}&(m'-m){\frac {d\theta }{dt}}=(m'+m){\frac {d\theta '}{dt}},\\&{\frac {1}{4}}(m+m')\left({\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {d\theta '^{2}}{dt^{2}}}\right)-{\frac {1}{2}}(m'-m){\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d\theta '}{dt}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right)\,;\end{aligned}}$

en éliminant $d\theta '$ entre elles, il vient

(6)

${\frac {mm'}{m+m'}}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2\pi c^{2}\alpha k}{1-n}}\left({\frac {\theta ^{1-n}}{\alpha ^{1-n}}}-1\right),$