Ces quantités une fois connues, on obtient la position dans l’orbite du périhélie au moyen de l’équation
où désigne l’angle que le rayon vecteur fait avec la direction du périhélie.
Les quantités servent aussi à déterminer les distances de la comète à la Terre et au Soleil ; on a, abstraction faite des signe, pour la distance de la comète à la Terre dans la deuxième observation, dans la première, et dans la troisième. Enfin est la distance de la comète au Soleil dans la première observation, et la même distance dans la troisième observation. Au moyen de ces distances, il est aisé de trouver les autres éléments de l’orbite.
La résolution des trois équations données plus haut ne présente aucune difficulté quand est moindre que ou peu supérieur à ce qui suppose que l’intervalle entre les observations extrêmes ne dépasse pas deux mois. Dans ce cas, les séries qui représentent les quantités sont convergentes, et le sont d’autant plus que est plus petit. Si l’on néglige les termes en et ceux qui renferment de plus hautes puissances de les trois équations dont nous nous occupons contiennent les inconnues et sous forme linéaire, ce qui permet de les éliminer très-facilement et d’obtenir une équation en qui, en réalité, est d’un degré assez élevé, mais qui, dans une première approximation, peut être abaissée au huitième, en supprimant dès le début les termes en
Enfin je remarque, sur les expressions des quantités que les rapports des sinus des angles à celui de l’angle ont le signe puisque, dans la figure, les trois premiers angles sont d’un côté, et le quatrième de l’autre côté de l’arc commun au contraire, les rapports des sinus des angles au sinus de et
