15. Supposons maintenant que, parmi les racines de l’équation en
il y en ait une
qui tombe hors de ces limites
et
Alors il est visible que l’équation
ne pourra pas donner pour
un angle réel ; cet angle deviendra donc imaginaire, et ses sinus et cosinus se transformeront en sinus et cosinus hyperboliques. Pour résoudre ce cas, on fera donc
![{\displaystyle \varphi =\omega {\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8740da6fabf802091027183241bb7f73da9eb3dd)
et, employant les exponentielles, on aura
![{\displaystyle 2\sin {\frac {\varphi }{2}}={\frac {e^{-{\frac {\omega }{2}}}-e^{\frac {\omega }{2}}}{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cc295ea6d7eece2b8f71159ed36ae9065bd788)
ce qui donnera l’équation
![{\displaystyle e^{\omega }+e^{-\omega }-2=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/716caffe8ff89712e53ca388133f7c4982298b7a)
qui, étant résolue par les logarithmes, donnera toujours une valeur réelle de
tant que
sera
ou ![{\displaystyle <-4.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96b51e40429c4fdb0412a5e445fddf3136bc68d5)
Ayant trouvé
on mettra, à la place du terme
de l’expression de
deux termes de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {M} {\frac {e^{x\omega }+e^{-x\omega }}{2}}+\mathrm {N} {\frac {e^{x\omega }-e^{-x\omega }}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b8d65abd8732f825497680b5e371ecaaf01af4)
et
étant des coefficients qu’on déterminera par la comparaison des termes.
Les expressions
et
sont ce qu’on appelle cosinus et sinus hyperboliques du secteur
et l’on en trouve une Table toute calculée dans les Additions publiées par M. Lambert aux Tables logarithmiques et trigonométriques. Dans ce cas donc, l’expression de
contiendra la quantité
en exponentielle, d’où résultera une autre espèce d’équations séculaires ; mais il ne paraît pas qu’il y ait de telles équations dans le système du monde.