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et les dernières serviront à déterminer les inconnues d’où l’on déduira ensuite les valeurs de et des angles

14. On voit donc, d’après tout ce qui précède, que, pour que la série primitive donnée soit formée d’un certain nombre de sinus d’angles croissant uniformément, il faut que l’équation en trouvée par les règles ci-dessus ait toutes ses racines réelles inégales et comprises entre ces limites et autrement on ne pourra déterminer les différents angles Cependant, lorsque quelqu’une de ces conditions n’a pas lieu, on peut également avoir l’expression du terme général Parcourons les différents cas qui peuvent arriver. Et d’abord supposons que toutes les racines soient comprises entre les limites assignées, mais qu’il y en ait deux d’égales entre elles, en sorte que l’on ait Alors, au lieu du terme de l’expression de il faudra substituer un terme de cette autre forme par conséquent, dans les équations ci-dessus, il faudra changer en et multiplier en même temps chaque terme par le coefficient de l’angle

Si trois racines sont égales, en sorte que, outre on ait encore alors il faudra de plus changer le terme en un autre de cette forme par conséquent, dans les équations précédentes il faudra changer aussi en et multiplier les termes respectifs par les carrés des coefficients de l’angle et ainsi de suite.

Cela peut se démontrer de plusieurs manières, et surtout par la considération des quantités évanouissantes, en supposant que les angles au lieu d’être absolument égaux, diffèrent entre eux par des quantités infiniment petites ; mais ce n’est pas ici le lieu d’entrer dans ce détail.

On doit conclure de là que, dans le cas des racines égales, l’expression de contiendra toujours la quantité en coefficient, et élevée à la première puissance pour deux racines égales, à la seconde pour trois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donnera des équations séculaires de différents ordres.