Si, au resté, on ne veut pas faire directement le calcul par la formule (no XVIII)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {\varkappa }{2}}-\zeta \right)={\frac {1-m}{1+m}}\operatorname {tang} {\frac {\varkappa }{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b81d8209120562170b71f1e847a4b3bc9bcd804)
mais se servir d’une série infinie pour calculer
et il est aisé de déduire une telle série des formules précédentes.
En effet, la formule trouvée pour la longitude géocentrique de la planète étant semblable à la formule du no XVIII, on la ramènera aisément à la suivante
![{\displaystyle e^{2\zeta {\sqrt {-1}}}={\frac {1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}}{1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2f800220caa65cef528466ce2c1d796eeaef39)
et, en prenant les logarithmes, on aura
![{\displaystyle \zeta ={\frac {\log \left(1+me^{\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)-\log \left(1+me^{-\varkappa {\sqrt {-1}}}\right)}{2{\sqrt {-1}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5a711a1dd0e0edcef488513156a6b384b8f518)
développant les logarithmes en série et substituant les expressions trigonométriques aux expressions exponentielles, il vient
![{\displaystyle \zeta =m\sin \varkappa -{\frac {m^{2}}{2}}\sin 2\varkappa +{\frac {m^{3}}{3}}\sin 3\varkappa -\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e88566187fb8363c4b34b535154df4bb9b8ff9a5)
On peut consulter sur ce sujet les Gedenkschriften der Königl. Akademie pour l’année 1776.