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On aura de cette manière deux suites de nombres entiers décroissants $p,p_{1},p_{2},p_{3},\ldots ,q,q_{1},q_{2},q_{3},\ldots ,$ tels que

${\begin{aligned}&p\ \,q_{1}-q\ \,p_{1}=\pm 1,\\&p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\pm 1,\\&p_{2}q_{3}-q_{2}p_{3}=\pm 1,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et qui donneront la suite des minima

$p-aq,\quad p_{1}-aq_{1},\quad p_{2}-aq_{2},\quad p_{3}-aq_{3},\quad \ldots$

de la formule $y-az\,;$ ces minima seront successivementde signes différents, et formeront une suite croissante, telle que chaque terme, comme $p_{2}-aq_{2},$ sera un minimum relativement aux valeurs de $y$ et $z$ moindres que $p_{1}$ et $q.$

D’où il s’ensuit que les termes correspondants des deux séries $p,p_{1},p_{2},$$\ldots ,q,q_{1},q_{2},\ldots$ ont des propriétés analogues, et résolvent tout le Problème proposé.

Il ne s’agit donc plus que de trouver les deux séries.

Pour cela, je remarque : 1^o qu’en ajoutant ensemble les équations

$pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,\quad p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}=\mp 1,$

on a

$(p-p_{2})q_{1}-(q-q_{2})p_{1}=0,\quad {\text{savoir}}\quad q_{1}(p-p_{2})=p_{1}(q-q_{2})\,;$

donc, puisque cette équation doit subsister en nombres entiers, et que $p_{1},q_{1}$ sont premiers entre eux, en vertu de l’équation $pq_{1}-qp_{1}=\pm 1,$ il faudra que $p-p_{2}$ soit divisible par $p_{1}\,;$ ainsi, nommant $\mu$ le quotient de cette division, on aura

$p-p_{2}=\mu p_{1},\quad {\text{et}}\quad p=\mu p_{1}+p_{2}\,;$

alors l’équation deviendra

$\mu q_{1}=q-q_{2},$ ce qui donne de même $q=\mu q_{1}+q_{2}.$